Сечения n-мерного куба
Apr. 23rd, 2011 02:21 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mancunian1998Узнал на конференции один довольно удивительный факт. Представьте себе вначале квадрат со стороной 1 и прямую, которая его пересекает. Какова наибольшая длина сечения?
Ответ угадать несложно: корень из двух. "Как бы понятно", что длиннее всего выйдет, если резать вдоль диагонали. Доказать это тоже нетрудно, разумеется.
Теперь представьте себе n-мерный единичный куб, который рассекает гиперплоскость. Вопрос тот же: каков максимальный (n-1)-мерный объем сечения?
Кажется, что ответ обязан зависеть от n (например, диагональ куба имеет длину корень из n), но на самом деле он тот же - квадратный корень из двух. Это теорема Болла, и в оригинальной статье она доказывается при помощи разных хитрых аргументов, а в конце концов сводится к аккуратной оценке интеграла от (sin x/x)p от минус до плюс бесконечности (что весьма нетривиально, как это ни удивительно). Вроде бы есть альтернатиный простой аргумент, но там слегка машут руками, так что автор не вполне уверен в его аккуратности.
Всё это еще раз доказывает, что наша интуиция касательно многомерных пространств часто совершенно неверна.
Ответ угадать несложно: корень из двух. "Как бы понятно", что длиннее всего выйдет, если резать вдоль диагонали. Доказать это тоже нетрудно, разумеется.
Теперь представьте себе n-мерный единичный куб, который рассекает гиперплоскость. Вопрос тот же: каков максимальный (n-1)-мерный объем сечения?
Кажется, что ответ обязан зависеть от n (например, диагональ куба имеет длину корень из n), но на самом деле он тот же - квадратный корень из двух. Это теорема Болла, и в оригинальной статье она доказывается при помощи разных хитрых аргументов, а в конце концов сводится к аккуратной оценке интеграла от (sin x/x)p от минус до плюс бесконечности (что весьма нетривиально, как это ни удивительно). Вроде бы есть альтернатиный простой аргумент, но там слегка машут руками, так что автор не вполне уверен в его аккуратности.
Всё это еще раз доказывает, что наша интуиция касательно многомерных пространств часто совершенно неверна.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-04-23 01:47 am (UTC)no subject
Date: 2011-04-23 09:32 am (UTC)no subject
Date: 2011-04-23 09:51 pm (UTC)no subject
Date: 2011-04-23 10:26 pm (UTC)no subject
Date: 2011-04-24 02:29 am (UTC)если в 3д кубе 2д плоскость идет через (0,0,0) и (1,1,1), то как бы корень из 3х. Или речь о том, что площадь сечения будет меньше?
no subject
Date: 2011-04-24 02:39 am (UTC)no subject
Date: 2011-04-24 07:05 pm (UTC)no subject
Date: 2011-04-28 09:14 pm (UTC)Неужели сложно доказать след. утверждения:
1. Не более чем половина вершин куба лежит в одной гиперплоскости - вроде бы легко.
2. Экстремальное сечение пересекает одномерные ребра куба в вершинах - сложнее, но вроде можно, исходя из общих свойств выпуклых множеств и/или теории линейного программирования.
3. Куб, натянутый на вектора e1,e2,..,en-2,((en-1) + en) - искомое экстремальное сечение.
no subject
Date: 2011-05-01 11:59 pm (UTC)