Сгусток добра

Чувак отлично объясняет знаменитую Erdős discrepancy problem на уровне школьной математики (с оживляжем):



Месяц назад эта проблема была решена Теренсом Тао, ко всеобщему удивлению. Ну то есть неудивительно, что ее решил Тао, но удивительно, что ее вообще кто-то смог решить. Она казалась совершенно неприступной. А он возьми да и реши, понимаешь. Ну гений, что с него возьмешь.

Все ужасно возбудились, конечно.

Кто-нибудь может конвертировать этот гиф в eps?



Онлайн-конвертеры делают это очень криво...

UPD. Спасибо danilovesky, проблема решена!

Эрдёш как-то заметил, что у математика есть три стадии маразма:

- сначала он начинает забывать застегивать ширинку;
- потом он начинает забывать ее расстегивать;
- наконец, он забывает свои собственные теоремы.

Первое у меня случается, конечно, как у всех, но нечасто. Второе - точно нет пока что. ;)

Зато я сейчас читаю свой текст 10-летней давности, тогда заброшенный, и не могу понять, в чем там лажа. Помню, что было что-то, что мне тогда показалось невозможно "починить", какой-то принципиально неверный аргумент... но я не могу вспомнить, какой. Выглядит всё очень правдоподобным, но вряд ли я тогда мог забросить нечто, что можно было еще "покрутить".

Дурацкая какая-то ситуация. (И нет, у меня нет аспирантов, которых можно было бы на это дело припахать.)

arXiv наконец-то освоил скрипт MathJax, так что теперь можно читать откомпилированные абстракты, набранные в латехе, не заглядывая в собственно статью. Не прошло и N лет!

*плачет*

Тем временем, как все и предсказывали, народ принялся дружно уменьшать константу в 70 миллионов в теореме Жанга (см мой пост). Вроде как уже догнали до 42 миллионов.

Типа так:

Как разрезать бублик так, чтобы получились два зацепленных бублика:

В конце прошлого лета я закончил ковку статью и отослал ее в журнал. Журнал неплохой, но нельзя сказать, что какой-то выдающийся. Специализируется на коротких статьях, так что я ожидал, что по, крайней мере, мне ответят быстро.

Ответ пришел вчера, через 6 с лишним месяцев после подачи. Отрицательный. Причем рецензент статью толком явно не прочитал, предпочтя стандартную откорячку, что, дескать, статья хорошая, но лучше бы ее подать в какой-нибудь специализированный журнал. Для этого вот дебильного ответа ему понадобилось почти полгода, ублюдку. Далее он для проформы привел пару работ, которые мне надо было бы процитировать, а то ему неясно, следуют ли мои результаты из результатов этих работ или нет.

Ответ: нет, не следуют, козлина ты эдакая. Я, естественно, знаю все работы, сколько-нибудь связанные с этой тематикой. У них там симметричный случай, у меня асимметричный. В симметричном случае ответ тривиальный, что понял бы любой, кто удосужился бы прочитать хотя бы введение моей работы. Причем я точно знаю, что ни один из авторов этих статей, которые мне-де надо изучить, не есть этот рецензент: один - мой соавтор, который не стал бы рецензировать мою статью из этических соображений, а второй - аспирант, которому не стали бы доверять такую работу. То есть просто от фонаря замечание, даже не от гордыни.

Ладно, хрен с ним, подам куда-нибудь еще. Просто весь этот процесс анонимного рецензирования совершенно идиотский, потому как всем на всех насрать и никому как следствие не хочется читать чужие статьи, да еще с карандашом. Ну только если они реально интересные, но такие случаются нечасто. Да и то больше 20 страниц читать никто не станет, времени жалко. Так что подавляющее большинство цитирований происходит по инерции, а не оттого, что кто-то кого-то реально прочитал.

Что же до журналов, то ну кто их нынче читает. Все нормальные люди кладут статьи в arXiv, а журналы со страницами - атавизм, который сохраняется просто оттого, что людям нужны позиции и гранты. Гребаный стыд для 2013 года от Р.Х., я считаю.

Возьмем натуральное число, большее 9, и проделаем следующую операцию: прочитаем его в десятичной записи, но в обратную сторону, и прибавим к изначальному числу.

Например, 18+81=99. Как мы видим, получился палиндром, то есть такое число, что если его цифры прочитать задом наперед, получится то же число. Однако 19+91=110, то есть не палиндром. Тем не менее, давайте продолжим процесс: 110+011=121 - палиндром!

С некоторыми числами этот процесс длиннее, например: 69 -> 165 -> 721 -> 848 726 -> 1353 -> 4884.

Вопрос: верно ли, что за конечное число шагов (итераций) мы получим палиндром из любого натурального числа?

Ответ: науке это неизвестно.

Первое число, про которое это неизвестно, есть 196. На него, ясное дело, угробили несусветное количество машинного времени, но палиндрома так и не получили. Эвристические аргументы - за то, что если за какое-то разумное число шагов палиндрома не вышло, то с каждым шагом этих шансов становится всё меньше и меньше. То есть можно поставить деньги на то, что 196 - число Личрела.

Я лично считаю, что найти конкретное число Личрела - совершенно нереально, но, например, доказать, что они существуют, математики когда-нибудь смогут. (Более того, уверен, что это множество положительной плотности.)

Проблема (как я ее вижу) тут в том, что операция "разворота" натурального числа в десятичной системе нетривиальна с точки зрения динамических систем, а сложение с развернутым числом приводит к переносам, которые хоть и описываются конечным автоматом, всё равно портят всю картину. Плохо еще то, что неясно, как эту операцию перенести на, скажем, бесконечные последовательности, вложив туда натуральные числа так, чтобы операция была непрерывна в соответствующей топологии (10-адической, например). Если бы это удалось, можно было бы включить аппарат эргодической теории, а так увы.

В общем, еще одно подтверждение того факта, что позиционные системы счисления, к которым мы так привыкли, слишком часто оказываются плохо совместимы с самыми естественными задачами. (Что содержательного вы можете сказать про десятичное разложение корня из двух, например? ответы по почте.)

(Если кто заинтересовался "проблемой 196", рекомендую почитать комменты к соответствующему посту на MathOverFlow, откуда я, собственно, и узнал про эту задачу.)

Рассмотрим множество рациональных чисел из интервала (0,1). Каждое такое число представляется единственным образом в виде p/q, где p и q - натуральные взаимно простые числа, p < q.

Теперь определим P(p/q) = 1/(2^q-1) для любого p.

Это действительно вероятность, потому как количество чисел, взаимно простых с q и меньших q, есть φ(q), функция Эйлера, и

Σ_{q ≥ 2} φ(q)/(2^q-1) = 1,

что можно найти, например, в книжке Харди и Райта (Теорема 309).

Наверняка это известно, но всё равно было приятно переоткрыть. :)

(кликабельно)