Шлаки мыслей
Apr. 23rd, 2013 12:54 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mancunian1998Как всем известно, для ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве его спектральный радиус не превосходит его нормы: ρ(T) ≤ ||T||. Доказывается это просто: для любого λ > ||T||, оператор Σn≥1λ-n Tn-1 корректно определен, непрерывен и является обратным к λI-T.
Соответствтенно, это неравенство верно и для конечномерных пространств: максимум модуля собственных значений матрицы не превосходит ее нормы. Вопрос - какой нормы? Ну понятно, что не абы какой - всё-таки это должна быть норма, порожденная векторной нормой. Но вот эта векторная норма может быть уже любой, потому как понятие собственного значения от нормы не зависит. То есть неравенство это означает, что ни одно собственное значение комплексной матрицы не может быть больше никакой ее (операторной) нормы. Странно, да?
В бесконечномерных пространствах (где есть бесконечно много неэквивалентных норм) это кажется еще более неправдоподобным, пока мы не вспомним о том, что там-то спектр оператора от нормы как раз зависит. Потому как λ не лежит в спектре, если λI-T обратим, и его обратный ограничен. Последнее свойство зависит от нормы, хотя тоже кажется, что довольно слабо.
Соответствтенно, это неравенство верно и для конечномерных пространств: максимум модуля собственных значений матрицы не превосходит ее нормы. Вопрос - какой нормы? Ну понятно, что не абы какой - всё-таки это должна быть норма, порожденная векторной нормой. Но вот эта векторная норма может быть уже любой, потому как понятие собственного значения от нормы не зависит. То есть неравенство это означает, что ни одно собственное значение комплексной матрицы не может быть больше никакой ее (операторной) нормы. Странно, да?
В бесконечномерных пространствах (где есть бесконечно много неэквивалентных норм) это кажется еще более неправдоподобным, пока мы не вспомним о том, что там-то спектр оператора от нормы как раз зависит. Потому как λ не лежит в спектре, если λI-T обратим, и его обратный ограничен. Последнее свойство зависит от нормы, хотя тоже кажется, что довольно слабо.
