Прет от цепных дробей
Mar. 8th, 2005 04:59 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
mancunian1998Нет, серьезно. Готовлюсь к лекции для первокурсников по цепным дробям - и обнаруживаю в (скаченном из "Колхоза") замечательном учебнике, что не только Лагранж приложил к этому руку, но и такие люди, как Галуа и Лежандр.
Лежандр, например, доказал, что разложение чистого корня из рационального числа в цепную дробь не просто периодично, а имеет внутри удивительно красивую симметрию.
И ведь никто из "серьезных" математиков этого не знает. Никто! Ну, или почти никто. Дай им посчитать период разложения корня из 1000001 в цепную дробь - не смогут. Потому как в лоб тут фиг сосчитаешь - наука нужна. А они ее никогда не учили.
И студентов с этого прет! Это же не осточертевшие им еще со школы производные и интегралы или скучные системы линейных уравнений... у меня на занятиях они чувствуют, что это реальный стафф, классика жанра! И, конечно, их вставляет то, что они узнают что-то, что не всякий профи знает (а я этого не скрываю). Один из них подошел ко мне как-то после лекции и спрашивает: "А вот корень кубический из двух - какое у него разложение в цепную дробь?" Ну, я ему говорю, что, мол, никто не знает, загадка века и всё такое. Он не верит! Там же, говорит, уравнение простое, наверняка что-то можно извлечь! Ну, я не стал его обескураживать - пусть повозится, это полезно.
Жаль, очень жаль, что в будущем году этот милый курс попадет под нож. В связи с местным одержанием, первокурсников будут учить сплошной линейной алгебре и калькулюсу - "полезным" дисциплинам. Впрочем, я могу попробовать создать модуль для третьего курса: половина - про цепные дроби, половина - про диофантовы приближения (со связкой в виде гениальной теоремы Лиувилля). Тогда можно будет доказать трансцендентность чисел е и пи! (чего большинство "профи" тоже, конечно, не знает)
Ладно, пес с ним. Будь что будет.
Лежандр, например, доказал, что разложение чистого корня из рационального числа в цепную дробь не просто периодично, а имеет внутри удивительно красивую симметрию.
И ведь никто из "серьезных" математиков этого не знает. Никто! Ну, или почти никто. Дай им посчитать период разложения корня из 1000001 в цепную дробь - не смогут. Потому как в лоб тут фиг сосчитаешь - наука нужна. А они ее никогда не учили.
И студентов с этого прет! Это же не осточертевшие им еще со школы производные и интегралы или скучные системы линейных уравнений... у меня на занятиях они чувствуют, что это реальный стафф, классика жанра! И, конечно, их вставляет то, что они узнают что-то, что не всякий профи знает (а я этого не скрываю). Один из них подошел ко мне как-то после лекции и спрашивает: "А вот корень кубический из двух - какое у него разложение в цепную дробь?" Ну, я ему говорю, что, мол, никто не знает, загадка века и всё такое. Он не верит! Там же, говорит, уравнение простое, наверняка что-то можно извлечь! Ну, я не стал его обескураживать - пусть повозится, это полезно.
Жаль, очень жаль, что в будущем году этот милый курс попадет под нож. В связи с местным одержанием, первокурсников будут учить сплошной линейной алгебре и калькулюсу - "полезным" дисциплинам. Впрочем, я могу попробовать создать модуль для третьего курса: половина - про цепные дроби, половина - про диофантовы приближения (со связкой в виде гениальной теоремы Лиувилля). Тогда можно будет доказать трансцендентность чисел е и пи! (чего большинство "профи" тоже, конечно, не знает)
Ладно, пес с ним. Будь что будет.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2005-03-08 06:01 pm (UTC)no subject
no subject
Date: 2005-03-08 05:54 pm (UTC)в смысле, это нехорошо, что не знает, так я понял?
no subject
Date: 2005-03-08 05:59 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-08 06:03 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-08 06:10 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-08 06:41 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 01:04 am (UTC)У нас теорема Лиувилля (и трансцендентность
$\sum \frac {1} {(10^n)!)$) в листочках для первокурсников.
Если ты видишь "алгебраического геометра", который этого
не знает - говно это, а не геометр.
Привет
no subject
Date: 2005-03-09 01:08 am (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 02:04 am (UTC)В университетах алгебраической геометрии не учат, увы.
Кроме Гарварда и Оксбриджа разве что, но там и
теорему Лиувилля знают, я думаю.
такие дела
Миша
no subject
Date: 2005-03-09 12:32 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 01:04 pm (UTC)рассказывал студентам про трансцендентность e.
Это по нашим временам часть обязательного курса
алгебраической геометрии, другое дело, что
хороших геометров кот наплакал.
Вот, собственно говоря, классический текст (http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=BSMF_1982__110__75_0).
Теория чисел не в моде, потому что
интересного в этой науке не делается уже давно
(сравнительно, например, с тем, что делалось
20-30 лет назад Фальтингсом, Делинем и Бейлинсоном,
или 40 лет назад Тэйтом). Глупо заниматься
такими науками, в которых ничего не происходит.
А когда вымрут зубры (вроде нас), которые ее
выучили в юности, никто вообще не будет
понимать о чем речь шла - молодежь всякие
изокристаллы в основном мудро игнорирует.
А теорема Тао (сравнительно с гипотезами
Бейлинсона к примеру или доказательством Фальтингса
гипотезы Морделла) это игрушки детские.
Такие дела
Миша
no subject
Date: 2005-03-09 01:32 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 03:07 pm (UTC)не ебет (кроме мудаков профанов,
которые, понятно, мудаки).
Доказали ж недавно гораздо более сильный результат
(не частный случай Таниямы-Вейля, как у Вайлса, а
целиком всю Танияму-Вейля! За это дело люди в 1980х
давились толпами), так никто даже не знает
про это, до того народу начхать. Я для себя
объясняю это ровно одним - теория чисел
целиком сдохла.
А был бы СССР и был бы Бейлинсон в
СССР, и не сдохла бы наверное - у него
были фантастической красоты идеи.
Такие дела
Миша
no subject
Date: 2005-03-14 02:48 am (UTC)Не слушайте вы всяких пижонов.
no subject
Date: 2005-03-08 07:25 pm (UTC)говорил (http://www.livejournal.com/users/mancunian/287229.html?thread=3224317#t3224317) я Вам вчера - не надо иx заранее разубеждать. ;) даже если и не решит, то в будущем не будет разделять задачи на заранее-простые и заранее-сложные.
а что за уровень студентов? college?
какой колледж?
Date: 2005-03-08 07:58 pm (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 12:04 am (UTC)Я знаю. Читал об этом в 8-м классе и запомнил.
Да и все, с кем я говорил об этом, знают.
Есть, кстати, у Арнольда какие-то штуки насчет
корней третьей степени и выше. Он сейчас много
занимается цепными дробями.
Л. С. Левитов цепные дроби в физике применял,
довольно успешно.
Еще цепное разложение $\sqrt a$
используется при вычислении
группы единиц в кольце $\Z[\sqrt a]$.
Такие дела
Миша
no subject
Date: 2005-03-09 12:16 am (UTC)а Левитов совместно с пользователем
и другим соавтором. Им за эту работу серьезно
собирались дать Нобелевскую премию (может и дадут еще).
http://arxiv.org/abs/math-ph/9912005
Привет
no subject
Date: 2005-03-09 12:28 am (UTC)В. И. Арнольд, Цепные дроби (http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.14.pdf)
А вот обзор работ по периодическим цепным
дробям для кубических корней
http://arxiv.org/abs/math.NT/0411054
Привет
no subject
Date: 2005-03-09 12:38 am (UTC)Что до многомерных алгоритмов, то их столько, что ясно, что "что-то не то". Самый популярный - Jacobi-Perron, наверное. Но всех хороших свойств одномерной модели нет ни у одного обобщения.
no subject
Date: 2005-03-09 12:58 am (UTC)Последовательность Фибоначчи соответствует повороту на золотое сечение, а в общем случае одной подстановкой не отделаешься - нужна последовательность. Она-то и параметризуется элементами разложения \alpha в цепную дробь.
Во Франции все это знают, особенно те, кто, например, писал статьи с Jean-Paul Alloiche. ;)
no subject
Date: 2005-03-09 01:01 am (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 12:43 am (UTC)Какие штуки у Арнольда, я не в курсе. Если он сможет что-нибудь доказать про разложения иррациональностей старших степеней - цены ему не будет. Но я в это не верю. Теорема Рота - это предел.
Про группу единиц любопытно. Никогда не думал про кольца - в полях всё же проще...
no subject
Date: 2005-03-09 04:16 am (UTC)Я подозреваю, имеется ввиду уравнение Пелля, решению которого соответствует единица кольца.
no subject
Date: 2005-03-09 09:01 am (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 09:17 am (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 12:09 am (UTC)Кстати, я, пожалуй, не найду так сразу периодическое разложение некоторой квадратичной иррациональности - на первом курсе так глубоко не вникал, ибо все это было вне стандартной программы, а потом руки не доходили, да и интересы ушли сильно в сторону.
Должен, кстати, сказать, что я довольно прилично удивлен, что у вас есть возможность читать курс по цепным дробям западным первокурсникам. Это, как правило, в лучшем случае, объясняется старшекурсникам или аспирантам. Да и то лишь тем, кто захотел, да и только тогда, когда лектор в курсе теории чисел идет чуть дальше, чем стандартные подходящие дроби. Слишком много необходимых условий.
Теорию моментов, где появляются цепные дроби, также не преподают. Аппроксимации Паде еще более специальный топик...
no subject
Date: 2005-03-09 12:33 am (UTC)При этом особенно интересен случай β, равного числу Пизо (Pisot number). Здесь периодические разложения соответствуют неотрицательным элементам Q(β) - точно как в случае целого β ! (доказано независимо Клаусом Шмидтом и Анн Бертран). Обратное, видимо, тоже верно (но полностью не доказано).
Правда, в отличие от целого основания, не всякое Пизо β обладает тем свойством, что любой неотрицательный элемент Z[β] имеет конечное разложение: например, золотое сечение таково, а вот корень x4 = x3+1 - нет.
Сдвиг в β-разложениях соответствует преобразованию единичного интервала Tβ(x)= {βx} - как, например, сдвиг в цепных дробях - преобразованию Гаусса Tx = {1/x}. Есть и общий подход к системам счисления, основанный на выборе подобных преобразований (Renyi, 1957).
Такие дела (с)
Если хотите - могу дать ссылки. Собственно, у меня есть обзор, в котором одна из глав - как раз про бета-разложения. ;)
no subject
Date: 2005-03-09 12:51 am (UTC)ссылка
Date: 2005-03-09 01:03 am (UTC)no subject
Date: 2005-03-09 12:35 am (UTC)