mancunian1998 | Считаем овец

Между первой и второй фазами сна в рамках подсчета овец решил занять мозг чем-нибудь простеньким. Например, сколько десятичных цифр содержит 2¹⁰⁰? В уме, конечно, без ручки и бумаги.

Это оказалось совсем просто: 2¹⁰⁰ = (2²⁰)⁵ = 1,048,576⁵. (2²⁰ я помню с детства...) Так что число наше > 10³⁰, т.е. цифр явно не меньше 31 - но и не больше, потому как 1.05⁵ < 1.1⁵ = 1.21 x 1.21 x 1.1 < 8. (Если оценивать чуть-чуть аккуратнее, то легко доказать, что первая цифра должна быть 1.)

Окей, подумал я, как насчет количества десятичных цифр 2¹⁰⁰⁰? Кажется, что ответ должен быть 301, "из тех же соображений". Но кто знает, что будет если возвести 1.048576 в 50-ю степень. Может, больше 10 - а, может, и меньше.

Поскольку 1.048576 это приблизительно 1.05, я решил воспользоваться тем фактом, что (1+1/20)²⁰ это приблизительно е, т.е. 2.7 где-то. Таким образом, нужно понять, больше или меньше 10 число 2.7^5/2. Мы знаем, что 2.7² = 7.29, так что остается оценить 7.29 помножить на корень из 2.7. Но корень этот явно больше 1.5, так что произведение должно быть больше 10 (но явно меньше 100), то есть цифр в десятичной записи 2¹⁰⁰⁰, согласно моим ментальным подсчетам, должно быть 302, а не 301.

Проделав все эти вычисления, не удержался и подглядел в компьютер. Оказалось, что 2¹⁰⁰⁰ = 1.071509... х 10³⁰¹, так что заснул я, улыбаясь.

Конечно, мне повезло, что 2¹⁰ так близко к 1000. Если бы задача была про 3¹⁰⁰, я бы так и не заснул, наверное. ;)