Сечения n-мерного куба

[mancunian1998]

Узнал на конференции один довольно удивительный факт. Представьте себе вначале квадрат со стороной 1 и прямую, которая его пересекает. Какова наибольшая длина сечения?

Ответ угадать несложно: корень из двух. "Как бы понятно", что длиннее всего выйдет, если резать вдоль диагонали. Доказать это тоже нетрудно, разумеется.

Теперь представьте себе n-мерный единичный куб, который рассекает гиперплоскость. Вопрос тот же: каков максимальный (n-1)-мерный объем сечения?

Кажется, что ответ обязан зависеть от n (например, диагональ куба имеет длину корень из n), но на самом деле он тот же - квадратный корень из двух. Это теорема Болла, и в оригинальной статье она доказывается при помощи разных хитрых аргументов, а в конце концов сводится к аккуратной оценке интеграла от (sin x/x)^p от минус до плюс бесконечности (что весьма нетривиально, как это ни удивительно). Вроде бы есть альтернатиный простой аргумент, но там слегка машут руками, так что автор не вполне уверен в его аккуратности.

Всё это еще раз доказывает, что наша интуиция касательно многомерных пространств часто совершенно неверна.

Comments

[french-man.livejournal.com]

Мне кажется, что ограничить сечение постоянной величиной не должно быть очень сложно. Но получить точно корень из 2 - да, это сильно.

[pappadeux.livejournal.com]

А разве для трехмерного куба не диагональ? Не корень из трех? Или я чего-то не понял?

[monroth.livejournal.com]

пример на корень из двух очевиден - спроектируем все на какую-нибудь двумерную грань и посмотрим что спроектировалось на диагональ. А что-нибудь менее тривиальное есть? ну там например достигается ли она при разрезе перпендикулярно главной диагонали?

[ald1976.livejournal.com]

Посмотрел статью. Не уверен, что предложенный автором метод оптимален.

Неужели сложно доказать след. утверждения:

1. Не более чем половина вершин куба лежит в одной гиперплоскости - вроде бы легко.
2. Экстремальное сечение пересекает одномерные ребра куба в вершинах - сложнее, но вроде можно, исходя из общих свойств выпуклых множеств и/или теории линейного программирования.
3. Куб, натянутый на вектора e1,e2,..,en-2,((en-1) + en) - искомое экстремальное сечение.