Сечения n-мерного куба

[mancunian1998]

Узнал на конференции один довольно удивительный факт. Представьте себе вначале квадрат со стороной 1 и прямую, которая его пересекает. Какова наибольшая длина сечения?

Ответ угадать несложно: корень из двух. "Как бы понятно", что длиннее всего выйдет, если резать вдоль диагонали. Доказать это тоже нетрудно, разумеется.

Теперь представьте себе n-мерный единичный куб, который рассекает гиперплоскость. Вопрос тот же: каков максимальный (n-1)-мерный объем сечения?

Кажется, что ответ обязан зависеть от n (например, диагональ куба имеет длину корень из n), но на самом деле он тот же - квадратный корень из двух. Это теорема Болла, и в оригинальной статье она доказывается при помощи разных хитрых аргументов, а в конце концов сводится к аккуратной оценке интеграла от (sin x/x)^p от минус до плюс бесконечности (что весьма нетривиально, как это ни удивительно). Вроде бы есть альтернатиный простой аргумент, но там слегка машут руками, так что автор не вполне уверен в его аккуратности.

Всё это еще раз доказывает, что наша интуиция касательно многомерных пространств часто совершенно неверна.

Comments

[french-man.livejournal.com]

Мне кажется, что ограничить сечение постоянной величиной не должно быть очень сложно. Но получить точно корень из 2 - да, это сильно.

[mancunian.livejournal.com]

Как-то так, ага.