mancunian1998 (![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
mancunian1998) wrote2005-03-08 04:59 pm
mancunian1998) wrote2005-03-08 04:59 pm
Прет от цепных дробей
Нет, серьезно. Готовлюсь к лекции для первокурсников по цепным дробям - и обнаруживаю в (скаченном из "Колхоза") замечательном учебнике, что не только Лагранж приложил к этому руку, но и такие люди, как Галуа и Лежандр.
Лежандр, например, доказал, что разложение чистого корня из рационального числа в цепную дробь не просто периодично, а имеет внутри удивительно красивую симметрию.
И ведь никто из "серьезных" математиков этого не знает. Никто! Ну, или почти никто. Дай им посчитать период разложения корня из 1000001 в цепную дробь - не смогут. Потому как в лоб тут фиг сосчитаешь - наука нужна. А они ее никогда не учили.
И студентов с этого прет! Это же не осточертевшие им еще со школы производные и интегралы или скучные системы линейных уравнений... у меня на занятиях они чувствуют, что это реальный стафф, классика жанра! И, конечно, их вставляет то, что они узнают что-то, что не всякий профи знает (а я этого не скрываю). Один из них подошел ко мне как-то после лекции и спрашивает: "А вот корень кубический из двух - какое у него разложение в цепную дробь?" Ну, я ему говорю, что, мол, никто не знает, загадка века и всё такое. Он не верит! Там же, говорит, уравнение простое, наверняка что-то можно извлечь! Ну, я не стал его обескураживать - пусть повозится, это полезно.
Жаль, очень жаль, что в будущем году этот милый курс попадет под нож. В связи с местным одержанием, первокурсников будут учить сплошной линейной алгебре и калькулюсу - "полезным" дисциплинам. Впрочем, я могу попробовать создать модуль для третьего курса: половина - про цепные дроби, половина - про диофантовы приближения (со связкой в виде гениальной теоремы Лиувилля). Тогда можно будет доказать трансцендентность чисел е и пи! (чего большинство "профи" тоже, конечно, не знает)
Ладно, пес с ним. Будь что будет.
Лежандр, например, доказал, что разложение чистого корня из рационального числа в цепную дробь не просто периодично, а имеет внутри удивительно красивую симметрию.
И ведь никто из "серьезных" математиков этого не знает. Никто! Ну, или почти никто. Дай им посчитать период разложения корня из 1000001 в цепную дробь - не смогут. Потому как в лоб тут фиг сосчитаешь - наука нужна. А они ее никогда не учили.
И студентов с этого прет! Это же не осточертевшие им еще со школы производные и интегралы или скучные системы линейных уравнений... у меня на занятиях они чувствуют, что это реальный стафф, классика жанра! И, конечно, их вставляет то, что они узнают что-то, что не всякий профи знает (а я этого не скрываю). Один из них подошел ко мне как-то после лекции и спрашивает: "А вот корень кубический из двух - какое у него разложение в цепную дробь?" Ну, я ему говорю, что, мол, никто не знает, загадка века и всё такое. Он не верит! Там же, говорит, уравнение простое, наверняка что-то можно извлечь! Ну, я не стал его обескураживать - пусть повозится, это полезно.
Жаль, очень жаль, что в будущем году этот милый курс попадет под нож. В связи с местным одержанием, первокурсников будут учить сплошной линейной алгебре и калькулюсу - "полезным" дисциплинам. Впрочем, я могу попробовать создать модуль для третьего курса: половина - про цепные дроби, половина - про диофантовы приближения (со связкой в виде гениальной теоремы Лиувилля). Тогда можно будет доказать трансцендентность чисел е и пи! (чего большинство "профи" тоже, конечно, не знает)
Ладно, пес с ним. Будь что будет.
no subject
Кстати, я, пожалуй, не найду так сразу периодическое разложение некоторой квадратичной иррациональности - на первом курсе так глубоко не вникал, ибо все это было вне стандартной программы, а потом руки не доходили, да и интересы ушли сильно в сторону.
Должен, кстати, сказать, что я довольно прилично удивлен, что у вас есть возможность читать курс по цепным дробям западным первокурсникам. Это, как правило, в лучшем случае, объясняется старшекурсникам или аспирантам. Да и то лишь тем, кто захотел, да и только тогда, когда лектор в курсе теории чисел идет чуть дальше, чем стандартные подходящие дроби. Слишком много необходимых условий.
Теорию моментов, где появляются цепные дроби, также не преподают. Аппроксимации Паде еще более специальный топик...
no subject
При этом особенно интересен случай β, равного числу Пизо (Pisot number). Здесь периодические разложения соответствуют неотрицательным элементам Q(β) - точно как в случае целого β ! (доказано независимо Клаусом Шмидтом и Анн Бертран). Обратное, видимо, тоже верно (но полностью не доказано).
Правда, в отличие от целого основания, не всякое Пизо β обладает тем свойством, что любой неотрицательный элемент Z[β] имеет конечное разложение: например, золотое сечение таково, а вот корень x4 = x3+1 - нет.
Сдвиг в β-разложениях соответствует преобразованию единичного интервала Tβ(x)= {βx} - как, например, сдвиг в цепных дробях - преобразованию Гаусса Tx = {1/x}. Есть и общий подход к системам счисления, основанный на выборе подобных преобразований (Renyi, 1957).
Такие дела (с)
Если хотите - могу дать ссылки. Собственно, у меня есть обзор, в котором одна из глав - как раз про бета-разложения. ;)
no subject
ссылка
no subject