mancunian1998 (![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
mancunian1998) wrote2005-03-08 04:59 pm
mancunian1998) wrote2005-03-08 04:59 pm
Прет от цепных дробей
Нет, серьезно. Готовлюсь к лекции для первокурсников по цепным дробям - и обнаруживаю в (скаченном из "Колхоза") замечательном учебнике, что не только Лагранж приложил к этому руку, но и такие люди, как Галуа и Лежандр.
Лежандр, например, доказал, что разложение чистого корня из рационального числа в цепную дробь не просто периодично, а имеет внутри удивительно красивую симметрию.
И ведь никто из "серьезных" математиков этого не знает. Никто! Ну, или почти никто. Дай им посчитать период разложения корня из 1000001 в цепную дробь - не смогут. Потому как в лоб тут фиг сосчитаешь - наука нужна. А они ее никогда не учили.
И студентов с этого прет! Это же не осточертевшие им еще со школы производные и интегралы или скучные системы линейных уравнений... у меня на занятиях они чувствуют, что это реальный стафф, классика жанра! И, конечно, их вставляет то, что они узнают что-то, что не всякий профи знает (а я этого не скрываю). Один из них подошел ко мне как-то после лекции и спрашивает: "А вот корень кубический из двух - какое у него разложение в цепную дробь?" Ну, я ему говорю, что, мол, никто не знает, загадка века и всё такое. Он не верит! Там же, говорит, уравнение простое, наверняка что-то можно извлечь! Ну, я не стал его обескураживать - пусть повозится, это полезно.
Жаль, очень жаль, что в будущем году этот милый курс попадет под нож. В связи с местным одержанием, первокурсников будут учить сплошной линейной алгебре и калькулюсу - "полезным" дисциплинам. Впрочем, я могу попробовать создать модуль для третьего курса: половина - про цепные дроби, половина - про диофантовы приближения (со связкой в виде гениальной теоремы Лиувилля). Тогда можно будет доказать трансцендентность чисел е и пи! (чего большинство "профи" тоже, конечно, не знает)
Ладно, пес с ним. Будь что будет.
Лежандр, например, доказал, что разложение чистого корня из рационального числа в цепную дробь не просто периодично, а имеет внутри удивительно красивую симметрию.
И ведь никто из "серьезных" математиков этого не знает. Никто! Ну, или почти никто. Дай им посчитать период разложения корня из 1000001 в цепную дробь - не смогут. Потому как в лоб тут фиг сосчитаешь - наука нужна. А они ее никогда не учили.
И студентов с этого прет! Это же не осточертевшие им еще со школы производные и интегралы или скучные системы линейных уравнений... у меня на занятиях они чувствуют, что это реальный стафф, классика жанра! И, конечно, их вставляет то, что они узнают что-то, что не всякий профи знает (а я этого не скрываю). Один из них подошел ко мне как-то после лекции и спрашивает: "А вот корень кубический из двух - какое у него разложение в цепную дробь?" Ну, я ему говорю, что, мол, никто не знает, загадка века и всё такое. Он не верит! Там же, говорит, уравнение простое, наверняка что-то можно извлечь! Ну, я не стал его обескураживать - пусть повозится, это полезно.
Жаль, очень жаль, что в будущем году этот милый курс попадет под нож. В связи с местным одержанием, первокурсников будут учить сплошной линейной алгебре и калькулюсу - "полезным" дисциплинам. Впрочем, я могу попробовать создать модуль для третьего курса: половина - про цепные дроби, половина - про диофантовы приближения (со связкой в виде гениальной теоремы Лиувилля). Тогда можно будет доказать трансцендентность чисел е и пи! (чего большинство "профи" тоже, конечно, не знает)
Ладно, пес с ним. Будь что будет.
no subject
Я знаю. Читал об этом в 8-м классе и запомнил.
Да и все, с кем я говорил об этом, знают.
Есть, кстати, у Арнольда какие-то штуки насчет
корней третьей степени и выше. Он сейчас много
занимается цепными дробями.
Л. С. Левитов цепные дроби в физике применял,
довольно успешно.
Еще цепное разложение $\sqrt a$
используется при вычислении
группы единиц в кольце $\Z[\sqrt a]$.
Такие дела
Миша
no subject
а Левитов совместно с пользователем
и другим соавтором. Им за эту работу серьезно
собирались дать Нобелевскую премию (может и дадут еще).
http://arxiv.org/abs/math-ph/9912005
Привет
no subject
В. И. Арнольд, Цепные дроби (http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.14.pdf)
А вот обзор работ по периодическим цепным
дробям для кубических корней
http://arxiv.org/abs/math.NT/0411054
Привет
no subject
Что до многомерных алгоритмов, то их столько, что ясно, что "что-то не то". Самый популярный - Jacobi-Perron, наверное. Но всех хороших свойств одномерной модели нет ни у одного обобщения.
no subject
Последовательность Фибоначчи соответствует повороту на золотое сечение, а в общем случае одной подстановкой не отделаешься - нужна последовательность. Она-то и параметризуется элементами разложения \alpha в цепную дробь.
Во Франции все это знают, особенно те, кто, например, писал статьи с Jean-Paul Alloiche. ;)
no subject
no subject
Какие штуки у Арнольда, я не в курсе. Если он сможет что-нибудь доказать про разложения иррациональностей старших степеней - цены ему не будет. Но я в это не верю. Теорема Рота - это предел.
Про группу единиц любопытно. Никогда не думал про кольца - в полях всё же проще...
no subject
Я подозреваю, имеется ввиду уравнение Пелля, решению которого соответствует единица кольца.
no subject
no subject