Entry tags:
Считаем овец
Между первой и второй фазами сна в рамках подсчета овец решил занять мозг чем-нибудь простеньким. Например, сколько десятичных цифр содержит 2100? В уме, конечно, без ручки и бумаги.
Это оказалось совсем просто: 2100 = (220)5 = 1,048,5765. (220 я помню с детства...) Так что число наше > 1030, т.е. цифр явно не меньше 31 - но и не больше, потому как 1.055 < 1.15 = 1.21 x 1.21 x 1.1 < 8. (Если оценивать чуть-чуть аккуратнее, то легко доказать, что первая цифра должна быть 1.)
Окей, подумал я, как насчет количества десятичных цифр 21000? Кажется, что ответ должен быть 301, "из тех же соображений". Но кто знает, что будет если возвести 1.048576 в 50-ю степень. Может, больше 10 - а, может, и меньше.
Поскольку 1.048576 это приблизительно 1.05, я решил воспользоваться тем фактом, что (1+1/20)20 это приблизительно е, т.е. 2.7 где-то. Таким образом, нужно понять, больше или меньше 10 число 2.75/2. Мы знаем, что 2.72 = 7.29, так что остается оценить 7.29 помножить на корень из 2.7. Но корень этот явно больше 1.5, так что произведение должно быть больше 10 (но явно меньше 100), то есть цифр в десятичной записи 21000, согласно моим ментальным подсчетам, должно быть 302, а не 301.
Проделав все эти вычисления, не удержался и подглядел в компьютер. Оказалось, что( ta-da! ), так что заснул я, улыбаясь.
Конечно, мне повезло, что 210 так близко к 1000. Если бы задача была про 3100, я бы так и не заснул, наверное. ;)
Это оказалось совсем просто: 2100 = (220)5 = 1,048,5765. (220 я помню с детства...) Так что число наше > 1030, т.е. цифр явно не меньше 31 - но и не больше, потому как 1.055 < 1.15 = 1.21 x 1.21 x 1.1 < 8. (Если оценивать чуть-чуть аккуратнее, то легко доказать, что первая цифра должна быть 1.)
Окей, подумал я, как насчет количества десятичных цифр 21000? Кажется, что ответ должен быть 301, "из тех же соображений". Но кто знает, что будет если возвести 1.048576 в 50-ю степень. Может, больше 10 - а, может, и меньше.
Поскольку 1.048576 это приблизительно 1.05, я решил воспользоваться тем фактом, что (1+1/20)20 это приблизительно е, т.е. 2.7 где-то. Таким образом, нужно понять, больше или меньше 10 число 2.75/2. Мы знаем, что 2.72 = 7.29, так что остается оценить 7.29 помножить на корень из 2.7. Но корень этот явно больше 1.5, так что произведение должно быть больше 10 (но явно меньше 100), то есть цифр в десятичной записи 21000, согласно моим ментальным подсчетам, должно быть 302, а не 301.
Проделав все эти вычисления, не удержался и подглядел в компьютер. Оказалось, что( ta-da! ), так что заснул я, улыбаясь.
Конечно, мне повезло, что 210 так близко к 1000. Если бы задача была про 3100, я бы так и не заснул, наверное. ;)
