Entry tags:
Неравенство для косинуса
Забавное с MathOverflow: оказывается, верно неравенство
cos n < 1-2-n
для всех натуральных n, больших 1.
Идея доказательства в том, что это неравенство верно для всех "небольших" n (скажем, меньших 1000) - это тривиально проверяется на компьютере. А для достаточно больших n это следует из того глубокого факта, что число 2π, где косинус обращается в 1, не слишком хорошо приближается рациональными числами (даром что трансцендентное). Так что если взять косинус от миллиона, например, то он никак не может быть настолько близок к единице, чтобы "побить" 1-2-1000000.
Возможно, что есть и элементарное доказательство, но навскидку что-то не видно. Да и нужно ли оно?
cos n < 1-2-n
для всех натуральных n, больших 1.
Идея доказательства в том, что это неравенство верно для всех "небольших" n (скажем, меньших 1000) - это тривиально проверяется на компьютере. А для достаточно больших n это следует из того глубокого факта, что число 2π, где косинус обращается в 1, не слишком хорошо приближается рациональными числами (даром что трансцендентное). Так что если взять косинус от миллиона, например, то он никак не может быть настолько близок к единице, чтобы "побить" 1-2-1000000.
Возможно, что есть и элементарное доказательство, но навскидку что-то не видно. Да и нужно ли оно?
