mancunian1998: (reuleaux)
Чувак отлично объясняет знаменитую Erdős discrepancy problem на уровне школьной математики (с оживляжем):



Месяц назад эта проблема была решена Теренсом Тао, ко всеобщему удивлению. Ну то есть неудивительно, что ее решил Тао, но удивительно, что ее вообще кто-то смог решить. Она казалась совершенно неприступной. А он возьми да и реши, понимаешь. Ну гений, что с него возьмешь.

Все ужасно возбудились, конечно.
mancunian1998: (reuleaux)
А вот, кстати, картинка из моей недавней научной статьи:

chaos

С учетом нынешней политической ситуации, к ней можно придумать много разных интересных подписей, думаю.

Convert!

Oct. 4th, 2014 08:28 pm
mancunian1998: (lopuh)
Кто-нибудь может конвертировать этот гиф в eps?

K_185-125

Онлайн-конвертеры делают это очень криво...

UPD. Спасибо [livejournal.com profile] danilovesky, проблема решена!
mancunian1998: (reuleaux)
Чёта я туплю...

Пусть (x1, y1),..., (xn, yn) - вершины выпуклого многоугольника. Как проще всего проверить, будет ли точка (a,b) внутри него?

В интернетах какая-то хрень, коды какие-то, понимаешь. А мне простой алгоритм нужен.

UPDATE. Всем большое спасибо, кто откликнулся. Всё теперь работает.
mancunian1998: (lopuh)
Эрдёш как-то заметил, что у математика есть три стадии маразма:

- сначала он начинает забывать застегивать ширинку;
- потом он начинает забывать ее расстегивать;
- наконец, он забывает свои собственные теоремы.

Первое у меня случается, конечно, как у всех, но нечасто. Второе - точно нет пока что. ;)

Зато я сейчас читаю свой текст 10-летней давности, тогда заброшенный, и не могу понять, в чем там лажа. Помню, что было что-то, что мне тогда показалось невозможно "починить", какой-то принципиально неверный аргумент... но я не могу вспомнить, какой. Выглядит всё очень правдоподобным, но вряд ли я тогда мог забросить нечто, что можно было еще "покрутить".

Дурацкая какая-то ситуация. (И нет, у меня нет аспирантов, которых можно было бы на это дело припахать.)
mancunian1998: (best in trade)
Тем временем продолжается эпопея про 70 миллионов, про которую я уже писал.

Эту сумму цифру с тех пор неиллюзорно уменьшали разные люди (в том числе и весьма уважаемые), стараясь всё записать быстро-быстро и пихнуть в арХив, пока не перебили - прямо что твой ебэй.

Монументальным стоит признать усилие группы товарищей в рамках проекта Polymath во главе с самим Терри Тао, которые уже почти написали статью, где константа эта уменьшается аж до 4680. Статья на 173 страницы, вот-вот подадут в журнал.

Казалось бы, вот она, удача.

Однако только что некий постдок по имени James Maynard выложил в арХив свою работу, в которой константа эта уменьшена до 600. И всего на 23 страницах. Тао про эту работу знал и даже помогал молодому коллеге советами, так что, скорее всего, там всё окей. Но гигантскую статью с гораздо худшей константой всё равно доделают и подадут в журнал. Не пропадать же добру, в самом деле. Будет смешно, если в качестве рецензента пригласят этого Мэйнарда.

Мне же с моим кувшинным рылом по-прежнему неясно, зачем всё это нужно и почему на это серьезные люди тратят столько своего драгоценного времени. Что 70 миллионов, что 4 тысячи, что 600 - по мне, всё едино. Гипотезу близнецов (т.е. 2) они таким методом не могут получить принципиально (у метода есть ограничения), а коли так, то первоначальный результат Жанга вполне годится с какой угодно константой.

А вся эта деятельность напоминает старый добрый фильм It's a Mad, Mad, Mad, Mad World, финал которого как бы намекает на то, что даже самые достойные люди могут потерять лицо, если им перед носом помахать золотой морковкой. Только в данном случае морковка эта не золотая, а оловянная, что делает эти тараканьи бега особенно тоскливым зрелищем.
mancunian1998: (lopuh)
arXiv наконец-то освоил скрипт MathJax, так что теперь можно читать откомпилированные абстракты, набранные в латехе, не заглядывая в собственно статью. Не прошло и N лет!

*плачет*
mancunian1998: (shut the fuck up)
US debt

Впечатляет! Похоже на функцию распределения сингулярной меры. Ну или вообще на всё на свете, канторовская лестница такая лестница. У меня в недавней статье есть нечто похожее, причем там даже не про меры.

D_2

Если не сейчас, то когда-нибудь этот нарыв прорвется, конечно. "Будет весело".
mancunian1998: (vampire)
Тем временем, как все и предсказывали, народ принялся дружно уменьшать константу в 70 миллионов в теореме Жанга (см мой пост). Вроде как уже догнали до 42 миллионов.

Типа так:

70000000-
mancunian1998: (carter)
Пусть pn обозначает n-ое простое число. Всем известная гипотеза близнецов гласит, что существует бесконечное число индексов n, таких, что pn+1 - pn = 2. Например, 3 и 5, 11 и 13, 29 и 31, и т.д.

Никто не сомневается в том, что гипотеза верна, но доказать это не могут.

Так вот, только что Ytang Zhang вроде как доказал, что существует бесконечное число индексов n, таких, что pn+1 - pn < 70,000,000. Миллионы здесь не важны, конечно, а важно то, что это число, а не какая-то функция от n.

При этом в arXiv препринт не выкладывался, а был сразу отослан в Annals of Mathematics. Теперь он официально принят к публикации и даже доступен на сайте. Если у вас есть на него подписка, конечно. Если нет, то access denied.

Не мне с моим свиным рылом судить, конечно, но есть ощущение, что так делать нехорошо. Всё-таки обычно люди выкладывают препринты в открытый доступ, а уж тем более такие судьбоносные. Но дело, конечно, его. На то он и "спортсмен".

P.S. Почитал про него в википедии. Оказывается, он занимался пресловутой гипотезой о якобиане и даже утверждал, что ее доказал, но в его доказательстве нашли дыру. После чего его никуда не брали на работу, и он несколько лет где только не работал (включая Subway), пока его не взяли лектором. (А на каком основании он работал, будучи китайским гражданином? Или за время работы над диссертацией он получил гринкарту? Гм.)

И вот, наконец, удача. Сам Иванец проверил его доказательство, так что на этот раз всё окей.

P.P.S. Знаю еще одного человека, карьера которого пошла под откос через гипотезу о якобиане. Правда, с менее удачным финалом - человек этот сейчас занимает чисто преподавательскую позицию и наукой более не занимается.
mancunian1998: (reuleaux)
Как разрезать бублик так, чтобы получились два зацепленных бублика:

mancunian1998: (carter)
Как всем известно, для ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве его спектральный радиус не превосходит его нормы: ρ(T) ≤ ||T||. Доказывается это просто: для любого λ > ||T||, оператор Σn≥1λ-n Tn-1 корректно определен, непрерывен и является обратным к λI-T.

Соответствтенно, это неравенство верно и для конечномерных пространств: максимум модуля собственных значений матрицы не превосходит ее нормы. Вопрос - какой нормы? Ну понятно, что не абы какой - всё-таки это должна быть норма, порожденная векторной нормой. Но вот эта векторная норма может быть уже любой, потому как понятие собственного значения от нормы не зависит. То есть неравенство это означает, что ни одно собственное значение комплексной матрицы не может быть больше никакой ее (операторной) нормы. Странно, да?

В бесконечномерных пространствах (где есть бесконечно много неэквивалентных норм) это кажется еще более неправдоподобным, пока мы не вспомним о том, что там-то спектр оператора от нормы как раз зависит. Потому как λ не лежит в спектре, если λI-T обратим, и его обратный ограничен. Последнее свойство зависит от нормы, хотя тоже кажется, что довольно слабо.
mancunian1998: (best in trade)
В конце прошлого лета я закончил ковку статью и отослал ее в журнал. Журнал неплохой, но нельзя сказать, что какой-то выдающийся. Специализируется на коротких статьях, так что я ожидал, что по, крайней мере, мне ответят быстро.

Ответ пришел вчера, через 6 с лишним месяцев после подачи. Отрицательный. Причем рецензент статью толком явно не прочитал, предпочтя стандартную откорячку, что, дескать, статья хорошая, но лучше бы ее подать в какой-нибудь специализированный журнал. Для этого вот дебильного ответа ему понадобилось почти полгода, ублюдку. Далее он для проформы привел пару работ, которые мне надо было бы процитировать, а то ему неясно, следуют ли мои результаты из результатов этих работ или нет.

Ответ: нет, не следуют, козлина ты эдакая. Я, естественно, знаю все работы, сколько-нибудь связанные с этой тематикой. У них там симметричный случай, у меня асимметричный. В симметричном случае ответ тривиальный, что понял бы любой, кто удосужился бы прочитать хотя бы введение моей работы. Причем я точно знаю, что ни один из авторов этих статей, которые мне-де надо изучить, не есть этот рецензент: один - мой соавтор, который не стал бы рецензировать мою статью из этических соображений, а второй - аспирант, которому не стали бы доверять такую работу. То есть просто от фонаря замечание, даже не от гордыни.

Ладно, хрен с ним, подам куда-нибудь еще. Просто весь этот процесс анонимного рецензирования совершенно идиотский, потому как всем на всех насрать и никому как следствие не хочется читать чужие статьи, да еще с карандашом. Ну только если они реально интересные, но такие случаются нечасто. Да и то больше 20 страниц читать никто не станет, времени жалко. Так что подавляющее большинство цитирований происходит по инерции, а не оттого, что кто-то кого-то реально прочитал.

Что же до журналов, то ну кто их нынче читает. Все нормальные люди кладут статьи в arXiv, а журналы со страницами - атавизм, который сохраняется просто оттого, что людям нужны позиции и гранты. Гребаный стыд для 2013 года от Р.Х., я считаю.
mancunian1998: (carter)
20130303_180441 20130303_180628

Не могу найти закономерность что-то. Неужто и впрямь случайный рисунок?
mancunian1998: (reuleaux)
Возьмем натуральное число, большее 9, и проделаем следующую операцию: прочитаем его в десятичной записи, но в обратную сторону, и прибавим к изначальному числу.

Например, 18+81=99. Как мы видим, получился палиндром, то есть такое число, что если его цифры прочитать задом наперед, получится то же число. Однако 19+91=110, то есть не палиндром. Тем не менее, давайте продолжим процесс: 110+011=121 - палиндром!

С некоторыми числами этот процесс длиннее, например: 69 -> 165 -> 721 -> 848 726 -> 1353 -> 4884.

Вопрос: верно ли, что за конечное число шагов (итераций) мы получим палиндром из любого натурального числа?

Ответ: науке это неизвестно.

Первое число, про которое это неизвестно, есть 196. На него, ясное дело, угробили несусветное количество машинного времени, но палиндрома так и не получили. Эвристические аргументы - за то, что если за какое-то разумное число шагов палиндрома не вышло, то с каждым шагом этих шансов становится всё меньше и меньше. То есть можно поставить деньги на то, что 196 - число Личрела.

Я лично считаю, что найти конкретное число Личрела - совершенно нереально, но, например, доказать, что они существуют, математики когда-нибудь смогут. (Более того, уверен, что это множество положительной плотности.)

Проблема (как я ее вижу) тут в том, что операция "разворота" натурального числа в десятичной системе нетривиальна с точки зрения динамических систем, а сложение с развернутым числом приводит к переносам, которые хоть и описываются конечным автоматом, всё равно портят всю картину. Плохо еще то, что неясно, как эту операцию перенести на, скажем, бесконечные последовательности, вложив туда натуральные числа так, чтобы операция была непрерывна в соответствующей топологии (10-адической, например). Если бы это удалось, можно было бы включить аппарат эргодической теории, а так увы.

В общем, еще одно подтверждение того факта, что позиционные системы счисления, к которым мы так привыкли, слишком часто оказываются плохо совместимы с самыми естественными задачами. (Что содержательного вы можете сказать про десятичное разложение корня из двух, например? ответы по почте.)

(Если кто заинтересовался "проблемой 196", рекомендую почитать комменты к соответствующему посту на MathOverFlow, откуда я, собственно, и узнал про эту задачу.)
mancunian1998: (spider)
sierpinski

Трехмерная "салфетка Серпинского", если кто не в курсе. По идее она должна выглядеть так, но для RL модели у наших (аспирантов?) вышло неплохо, молодцы.
mancunian1998: (spider)
Рассмотрим множество рациональных чисел из интервала (0,1). Каждое такое число представляется единственным образом в виде p/q, где p и q - натуральные взаимно простые числа, p < q.

Теперь определим P(p/q) = 1/(2q-1) для любого p.

Это действительно вероятность, потому как количество чисел, взаимно простых с q и меньших q, есть φ(q), функция Эйлера, и

Σq ≥ 2 φ(q)/(2q-1) = 1,

что можно найти, например, в книжке Харди и Райта (Теорема 309).

Наверняка это известно, но всё равно было приятно переоткрыть. :)
mancunian1998: (spider)
Слушал сегодня вчера доклад, почерпнул много интересного.

А именно, возьмем самое обычное (middle-thirds) канторовское множество К...



... и запилим на него самую что ни на есть естественную меру, а именно такую, которая равна 2-n для всех интервалов энного уровня (называется научно Cantor-Lebesgue measure).

Если кто не знает, число называется нормальным (по Борелю) в системе счисления по основанию d, если в его d-ичном любой блок длины n встречается с частотой d-n, т.е. с такой, грубо говоря, какую ты от него ожидаешь. Например, блок 01001 в двоичном разложении встречается с асимптотической частотой 1/32.

Борель аж в 1900 году доказал, что почти любое по Лебегу число из интервала [0, 1] нормально по любому основанию (а, значит, и по всем сразу). Сейчас это, конечно, общее место - следствие усиленного закона больших чисел, например, но он героически доказывал это вручную.

Ну так вот, в множестве К очевидным образом нет нормальных чисел по основанию 3, потому как цифра 1 там вообще не встречается. Однако по любому другому основанию почти всякое число из К нормально, если только это основание не есть степень тройки. Этот результат был получен независимо двумя выдающимися теоретико-числовиками Касселсом и Шмидтом в 1959-м 1960-м году соответственно, через преобразование Фурье.

В сегодняшнем докладе в качестве побочного продукта некоей глубокой теории анонсирован следующий замечательный результат: оказывается, для почти любого числа из множества К его квадрат нормален по основанию 3. И не только квадрат - любая достаточно гладкая функция, лишь бы она не была линейной. (Да и многие линейные тоже.) То есть это свойство канторовского множества крайне нестабильно и исчезает при применении произвольной разумной функции.

Мораль та, что в природе всё нормально почти везде, исключения реально встречаются только в очень искусственных моделях вроде множества К, да и то пока их слегка не встряхнут.
mancunian1998: (reuleaux)
Между первой и второй фазами сна в рамках подсчета овец решил занять мозг чем-нибудь простеньким. Например, сколько десятичных цифр содержит 2100? В уме, конечно, без ручки и бумаги. 

Это оказалось совсем просто: 2100 = (220)5 = 1,048,5765. (220 я помню с детства...) Так что число наше > 1030, т.е. цифр явно не меньше 31 - но и не больше, потому как 1.055 < 1.15 = 1.21 x 1.21 x 1.1 < 8. (Если оценивать чуть-чуть аккуратнее, то легко доказать, что первая цифра должна быть 1.)

Окей, подумал я, как насчет количества десятичных цифр 21000? Кажется, что ответ должен быть 301, "из тех же соображений". Но кто знает, что будет если возвести 1.048576 в 50-ю степень. Может, больше 10 - а, может, и меньше.

Поскольку 1.048576 это приблизительно 1.05, я решил воспользоваться тем фактом, что (1+1/20)20 это приблизительно е, т.е. 2.7 где-то. Таким образом, нужно понять, больше или меньше 10 число 2.75/2. Мы знаем, что 2.72 = 7.29, так что остается оценить 7.29 помножить на корень из 2.7. Но корень этот явно больше 1.5, так что произведение должно быть больше 10 (но явно меньше 100), то есть цифр в десятичной записи 21000, согласно моим ментальным подсчетам, должно быть 302, а не 301.

Проделав все эти вычисления, не удержался и подглядел в компьютер. Оказалось, чтоta-da! ), так что заснул я, улыбаясь.

Конечно, мне повезло, что 210 так близко к 1000. Если бы задача была про 3100, я бы так и не заснул, наверное. ;)

Profile

mancunian1998: (Default)
mancunian1998

March 2017

S M T W T F S
   1 23 4
56 7891011
12131415161718
19 202122 2324 25
262728293031 

Syndicate

RSS Atom

Most Popular Tags

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jul. 27th, 2017 02:36 am
Powered by Dreamwidth Studios